《几何原本》命题1.45【夸克欧氏几何】
2023-06-25 12:32:59
哔哩哔哩
命题1.45：
(资料图)
可用已知角建立一个平行四边形使其等于已知多边形
已知：多边形ABCD，∠E
求：用∠E建一平行四边形使其等于多边形ABCD
解：
连接BD
（公设1.1）
建▱KFGH，使S▱KFGH=S△ABD，∠K=∠E
（命题1.42）
在线段GH上作▱GHML，使S▱GHML=S△BCD，∠GHM=∠E
（命题1.44）
证明：四边形KFLM是平行四边形，且S▱KFLM=S多边形ABCD
证:
∵∠K=∠E，∠GHM=∠E
（已知）
∴∠HKF=∠GHM
（公理1.1）
∴∠K+∠KHG=∠GHM+∠KHG
（公理1.2）
∵▱KFGH中，KF∥GH
（定义1.22）
∴∠K+∠KHG=两直角
（命题1.29）
∴∠GHM+∠KHG=两直角
（公理1.1）
∴KH，HM在同一直线上
（命题1.14）
∵▱KFGH中，KM∥FG
（定义1.22）
∴∠MHG=∠HGF
（命题1.29）
∴∠MHG+∠HGL=∠HGF+∠HGL
（公理1.2）
∵▱GHML中，GL∥HM
（定义1.22）
∴∠MHG+∠HGL=两直角
（命题1.29）
∴∠HGF+∠HGL=两直角
（公理1.1）
∴FG，GJ在同一直线上
（命题1.14）
∵KF∥GH，GH∥ML
（定义1.22）
∴KF∥ML
（命题1.30）
∵KM∥FL
（已知）
∴四边形KFLM是平行四边形
（定义1.22）
∵S▱KFGH=S△ABD，S▱GHML=S△BCD
（已知）
∴S▱KFGH+S▱GHML=S△ABD+S△BCD
即S▱KFLM=S多边形ABCD
（公理1.2）
证毕
此命题在本卷中未被使用
PS：用这种方法，任何直线形都可以被转换成一个平行四边形，这是一个求不规则直线形面积的好方法
